Многоугольник: определение и виды¶

Многоугольник — это замкнутая плоская фигура, ограниченная конечным числом прямых отрезков, соединяющихся попарно своими концами. Отрезки называются сторонами многоугольника, а точки их соединения — вершинами. Многоугольник относится к основным фигурам планиметрии и служит базовой единицей построения в геометрии, черчении, компьютерной графике и архитектуре.

¶Основные определения

Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин и обозначается буквой n. Если n ≥ 3, фигура может быть замкнута; при n < 3 замкнутой плоской фигуры не получается. Стороны, имеющие общую вершину, называются смежными. Угол, образованный двумя смежными сторонами, — внутренний угол многоугольника.

Выпуклым называется многоугольник, у которого все внутренние углы меньше 180°, а любая прямая, содержащая сторону, разделяет плоскость так, что вся фигура лежит по одну сторону от неё. Если хотя бы один внутренний угол превышает 180°, многоугольник называется невыпуклым (вогнутым). Выпуклый многоугольник всегда можно разбить на треугольники диагоналями, проведёнными из одной вершины.

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две невершинные вершины. Число диагоналей определяется формулой n(n − 3)/2.

¶Классификация

Многоугольники разделяются по числу сторон и по свойствам сторон и углов.

По числу сторон выделяют:

По соотношению сторон и углов различают:

• Правильный многоугольник — все стороны равны, все внутренние углы равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник.
• Равносторонний многоугольник — все стороны равны, но углы могут различаться (например, ромб).
• Правильный многоугольник — все углы равны, но стороны могут различаться (например, прямоугольник).
• Равноугольный — с равными внутренними углами.

¶Сумма углов

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°. Следствием является формула внутреннего угла правильного n-угольника: α = (n − 2) · 180° / n. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, по одному внешнему углу в каждой вершине, равна 360° независимо от числа сторон.

¶Площадь многоугольников

Для произвольного выпуклого многоугольника площадь можно вычислить, разбив его на треугольники и просуммировав их площади. Для выпуклого многоугольника с вершинами (x₁, y₁), …, (xₙ, yₙ), перечисленными по порядку обхода, действует формула:

S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + … + xₙy₁ − x₁yₙ|

Для правильного n-угольника со стороной a площадь равна S = n·a² / (4·tg(π/n)).

¶Выпуклые оболочки и триангуляция

Любой выпуклый многоугольник является выпуклой оболочкой множества своих вершин. Обратное утверждение также верно: выпуклая оболочка конечного набора точек на плоскости — это выпуклый многоугольник (или отрезок, или точка). Алгоритмы построения выпуклой оболочки (алгоритм Грэхема, алгоритм Джарвиса) являются классическими задачами вычислительной геометрии.

Триангуляция — разбиение многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Любой выпуклый n-угольник можно триангулировать на n − 2 треугольника. Для невыпуклых многоугольников задача триангуляции решается не для любой фигуры: существуют вогнутые многоугольники, которые нельзя разбить на треугольники диагоналями, не выходящими за пределы фигуры.

¶Применение

Многоугольники используются в компьютерной графике как основа растеризации: почти все изображения на экране строятся из треугольников, объединяемых в сетки (полигональные меши). В геодезии и картографии области часто описываются многоугольниками (полигонами). В архитектуре и строительстве планы зданий, участки и помещения традиционно изображаются в виде многоугольников.

Правильные многоугольники тесно связаны с задачей укладки плоскости: плоскость могут заполнять без зазоров только правильные треугольники, квадраты и правильные шестиугольники. Это свойство используется в кристаллографии, строительстве (шестигранная кладка) и природе (соты пчёл).

¶История

Исследование многоугольников восходит к античной геометрии. «Начала» Евклида (около 300 года до н. э.) содержат построения правильных многоугольников и доказательство формулы суммы углов. Задача о построении правильного n-угольника циркулем и линейкой была решена полностью Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году: такое построение возможно тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и попарно различных чисел Ферма. Сам Гаусс в 19 лет построил правильный 17-угольник.

Источники:

• Евклид. Начала, книги I–IV.
• Пономарёв Л. И. Геометрия: учебное пособие.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, приложения.
• Кадырбаев Ш. Ш. Компьютерная геометрия: алгоритмы и приложения.