Объём шара¶
Объём шара — величина, характеризующая количество трёхмерного пространства, занимаемого телом шарообразной формы. Шар — это множество всех точек пространства, расстояние от которых до фиксированной точки (центра) не превышает радиуса $R$. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $\pi$ — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру (приближённо 3,14159…).
¶Вывод формулы
Формула выводится методом интегрального исчисления. Шар с центром в начале координат описывается неравенством $x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$. Рассмотрим срез шара плоскостью, перпендикулярной оси $z$ и проходящей на расстоянии $z$ от центра. Такой срез — круг радиуса $r = \sqrt{R^2 - z^2}$, его площадь равна $\pi(R^2 - z^2)$.
Объём вычисляется как интеграл от площадей сечений:
$$V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left[R^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^3.$$
Альтернативный вывод — метод вращения: шар получается вращением полукруга $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ вокруг оси $Ox$. Тогда объём равен $\pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx$, что даёт тот же результат.
Древнегреческий математик Архимед в трактате «О шаре и цилиндре» (III век до н. э.) доказал, что объём шара равен $\frac{2}{3}$ объёма описанного цилиндра (радиус основания $R$, высота $2R$). Этот результат считался одним из главных достижений Архимеда.
¶Связь с другими величинами
| Величина | Формула |
|---|---|
| Площадь поверхности шара | $S = 4\pi R^2$ |
| Объём шара | $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ |
| Длина окружности большого круга | $C = 2\pi R$ |
| Объём цилиндра, описанного вокруг шара | $V_{ц} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$ |
Заметим, что $S = \frac{dV}{dR}$ — производная объёма по радиусу равна площади поверхности. Это общее свойство для выпуклых тел, вращённых вокруг оси.
¶Частные случаи
- Если известен диаметр $D$: $V = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\pi D^3}{6}$.
- Если известен объём и нужно найти радиус: $R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$.
- Если известна площадь поверхности: $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$, откуда $V = \frac{S^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}$.
¶Численные значения
Для единичного шара ($R = 1$) объём равен $\frac{4}{3}\pi \approx 4,18879$.
Для шара с радиусом 1 метр объём составляет приблизительно 4,18879 м³ (4188,79 литров). Шар с радиусом 1 сантиметр имеет объём около 4,18879 см³.
¶Обобщения
¶Шаровой сектор и сегмент
Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая плоскостью. Его объём при высоте $h$ и радиусе шара $R$:
$$V_{сегм} = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h).$$
Шаровой сектор — часть шара, ограниченная двумя полуплоскостями с общей образующей и сферической поверхностью между ними. Его объём пропорционален углу развёртки $\varphi$ (в радианах): $V_{сектор} = \frac{2}{3}R^3 \varphi$.
¶Эллипсоид
Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ имеет объём $V = \frac{4}{3}\pi abc$. Шар является частным случаем эллипсоида при $a = b = c = R$.
¶Сферический слой
Объём сферического слоя (разности двух концентрических шаров радиусов $R_1 > R_2$):
$$V = \frac{4}{3}\pi(R_1^3 - R_2^3).$$
¶Применение
Формула объёма шара применяется в физике (объём капель, пузырей газа в жидкости, расчёт ёмкости сферических резервуаров), химии (расчёт объёма атомов и молекул в кристаллических решётках), астрономии (определение объёма планет и звёзд по измеренному радиусу) и технике (объём сферических баков, подводных лодок, давление в замкнутых объёмах).
¶Интересные факты
- Шар — тело с наименьшей площадью поверхности при заданном объёме среди всех трёхмерных тел (теорема о шаре, строго доказана в XIX веке).
- Объём шара в $n$-мерном пространстве: $V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} R^n$, где $\Gamma$ — гамма-функция. При $n = 3$ получается классическая формула.
- Архимед завещал вырезать на своей надгробной плоскости изображение шара, вписанного в цилиндр, — символ его главного открытия.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
- Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
- Архимед. О шаре и цилиндре.
- Бурминский В. А. Математический анализ.