Парабола — квадратичная кривая¶

Парабола — плоская алгебраическая кривая второго порядка, множество точек, расстояние от которых до неподвижной точки (фокуса) равно расстоянию до неподвижной прямой (направляющей). Парабола относится к коническим сечениям наряду с окружностью, эллипсом и гиперболой. В декартовой системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид y² = 2px, где p — параметр, определяющий «открытость» кривой.

¶Происхождение термина

Название происходит от древнегреческого παραβολή — «отношение, приложение». Термин введён Аполлонием Пергским в III веке до н. э. в трактате «Конические сечения». Греческие математики изучали параболу как частный случай конических сечений — сечения прямого конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих.

¶Геометрическое построение

Парабола определяется фокусом F и направляющей прямой d. Для любой точки M кривой выполняется условие MF = ρ(M, d), где ρ — расстояние до прямой. Ось симметрии параболы — прямая, проходящая через фокус перпендикулярно направляющей; точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной. Параметр p — расстояние от фокуса до направляющей.

Построение параболы можно выполнить циркулем и линейкой: для произвольного положения точки на оси симметрии строится прямая, параллельная направляющей, и окружность с центром в фокусе; точки пересечения окружности с этой прямой лежат на параболе.

¶Каноническое уравнение и свойства

В стандартной системе координат с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью абсцисс, уравнение параболы записывается как y² = 2px. При p > 0 парабола обращена вправо, при p < 0 — влево. Парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат, описывается уравнением x² = 2py.

Общее уравнение параболы — частный случай общего уравнения второго порядка Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, при котором дискриминант B² − 4AC равен нулю, а квадратичная часть не вырождается в линейную. Любую параболу можно привести к каноническому виду поворотом и параллельным переносом системы координат.

Парабола не имеет центра симметрии (в отличие от эллипса и гиперболы), но обладает осевой симметрией. Она не ограничена: ветви уходят в бесконечность, причём расстояние между ними растёт.

¶Связь с другими коническ сечениями

Парабола — переходный случай между эллипсом и гиперболой. Если конус сечь плоскостью под угтом, равным углу образующей к оси конуса, сечение будет параболой. Эксцентриситет параболы равен единице (e = 1), тогда как у эллипса e < 1, а у гиперболы e > 1. При вырождении эллипса в точку при стремлении эксцентриситета к единице изнутри и при «размыкании» гиперболы — извне получаются параболы.

¶Механические и физические свойства

Парабола обладает важным оптическим свойством: лучи, параллельные оси симметрии, после отражения от внутренней стороны параболической поверхности сходятся в фокусе. Обратное тоже верно: источник, помещённый в фокус, создаёт после отражения параллельный пучок. Это свойство лежит в основе параболических антенн, радиотелескопов, солнечных печей и автомобильных фар.

При равномерном гравитационном поле траектория свободно летящего тела (брошенного под углом к горизонту, без учёта сопротивления воздуха) является параболой. Такую траекторию описывает снаряд в баллистике, струя воды из садового шланга, тело, брошенное в невесомости.

¶Применение

Параболические формы используются в инженерии и архитектуре. Параболический свод равномерно распределяет нагрузку, поэтому такие конструкции применяются в мостах и перекрытиях. Параболические зеркала применяются в телескопах (например, в космическом телескопе имени Хаббла), прожекторах, радиоантеннах. В гидродинамике форма параболы используется при проектировании сопел и гребных винтов.

В математическом анализе парабола y = x² служит базовым примером квадратичной функции при изучении производных, касательных и экстремумов.

¶Интересные факты

Аполлоний Пергский в своём трактате доказл все основные свойства конических сечений, включая определение эксцентриситета. В XVII веке Пьер де Ферма и Рене Декарт разработали аналитическую геометрию, что позволило описывать параболы алгебраическими уравнениями. Исаак Ньютон в «Началах» доказл, что траектории в центральном гравитационном поле — конические сечения, что связало геометрию параболы с небесной механикой.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия: 10–11 класс
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Аполлоний Пергский. Конические сечения
• Роджерс К. Конические сечения в истории математики