Пределы последовательности¶

Предел последовательности — это число, к которому стремятся члены числовой последовательности, то есть к которому они произвольно близки начиная с некоторого номера. Понятие предела — фундаментальное в математическом анализе и лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла.

¶Определение

Последовательность — это упорядоченный список чисел $x_1, x_2, x_3, \dots$, элементы которой обозначаются $x_n$, где $n$ — натуральный номер члена. Говорят, что последовательность сходится к пределу $a$ (пишут $\lim_{n \to \infty} x_n = a$), если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены последовательности отстоят от $a$ не более чем на $\varepsilon$: $|x_n - a| < \varepsilon$ при всех $n > N$.

Это определение, сформулированное в XIX веке Огюстеном Коши и уточнённое Карлом Вейерштрассом, называют «$\varepsilon$–$N$» определением. Оно заменило прежние нестрогие интуитивные представления о «бесконечном приближении» и позволило строго обосновать основные понятия анализа.

Если последовательность имеет предел, её называют сходящейся, если нет — расходящейся. Среди расходящихся последовательностей особое место занимают ограниченные, но не имеющие предела (например, $x_n = (-1)^n$), и неограниченные (например, $x_n = n$).

¶Основные теоремы

¶Единственность предела

Предел сходящейся последовательности единственный. Это следует непосредственно из определения: если бы у последовательности было два разных предела $a$ и $b$, то для $\varepsilon = |a - b| / 2$ члены последовательности должны были бы одновременно лежать в двух непересекающихся $\varepsilon$-окрестностях, что невозможно.

¶Признаки сходимости

Для определения предела не всегда требуется вычислять его напрямую. Существует ряд достаточных признаков сходимости:

• Признак Вейерштрасса (монотонность и ограниченность). Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится (и аналогично для убывающей ограниченной снизу). Предел равен точной верхней (нижней) грани.
• Признак Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна: для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ такое, что $|x_n - x_m| < \varepsilon$ при всех $n, m > N$.
• Признак Даламбера и Коши для степенных рядов и другие — применяются при анализе конкретных последовательностей.

¶Арифметика пределов

Если $\lim x_n = a$ и $\lim y_n = b$, то:

$$\lim (x_n \pm y_n) = a \pm b, \quad \lim (x_n \cdot y_n) = a \cdot b, \quad \lim \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \ (b \neq 0).$$

Эти правила существенно упрощают вычисление пределов, сводя сложные последовательности к простым.

¶Вычисление пределов

Практических методов вычисления пределов много. Среди них:

• Разложение на множители и сокращение общих множителей.
• Умножение на сопряжённое — при появлении выражений вида $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
• Сравнение с бесконечно малыми и большими — при $n \to \infty$ показатели степеней часто определяют поведение всей последовательности.
• Правило Лопиталя — для последовательностей, представимых в виде отношения функций, применяется с осторожностью и сведением к соответствующему пределу функции.
• Признаки сравнения — если $0 \le x_n \le y_n$ и $y_n \to 0$, то $x_n \to 0$ («несжимаемая лягушка»).

Классический пример: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - n} = \frac{3}{5}$ — делят числитель и знаменатель на $n^2$ и пользуются арифметикой пределов.

¶Связь с другими понятиями

Предел последовательности тесно связан с пределом функции: если $f$ непрерывна в точке $a$, то $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)$ для любой последовательности $x_n \to a$. Обратное утверждение также верно и составляет содержание теоремы о непрерывности через пределы последовательностей.

Через пределы последовательностей строятся основные числовые константы. Так, число $e$ определяется как $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, а $\pi$ — через пределы, описывающие длину окружности. Ряды — пределы частичных сумм — используются для представления функций в виде тригонометрических и степенных разложений.

¶История

Понятие предела прошло долгий путь развития. Архимед использовал метод исчерпания для вычисления площадей, что фактически было предшественником предельных рассуждений. В XVII веке Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегральное исчисление, опираясь на нестрогие представления о бесконечно малых.

Строгую основу анализу дал Коши в «Лекциях по анализу» (1821), где было сформулировано современное определение предела. Вейерштрасс в 1860-х годах уточнил и систематизировал эти идеи, введя формализм $\varepsilon$–$\delta$ и $\varepsilon$–$N$, ставший стандартом математического образования.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа.
• Бурминский А. Г. Математический анализ.
• Вейерштрасс К. Абракадабра аналитической теории функций (лекции).