Теорема — математическое утверждение¶
Теорема — утверждение, считающееся истинным и подлежащее доказательству на основе ранее принятых определений, аксиом и уже установленных теорем. Термин происходит от др.-греч. θεώρημα («теорема») от θεωρέω — «рассматриваю, наблюдаю». В современном математическом знании теорема является центральной единицей дедуктивного построения: из набора аксиом и правил вывода получаются теоремы, которые затем служат основой для вывода новых теорем.
¶Структура теоремы
Классическая теорема состоит из нескольких частей:
- Условия (посылки) — ограничения, при которых утверждение считается истинным («пусть дан треугольник…», «если n — простое число…»).
- Заключение (тезис) — само утверждение, которое требуется доказать.
- Доказательство — последовательность логических преобразований, приводящих заключение из условий при помощи аксиом и правил вывода.
Формулировка теоремы обычно имеет вид «Если A, то B», где A — условия, B — заключение. Обратная теорема имеет вид «Если B, то A» и, как правило, требует отдельного доказательства. Теорема, доказательство которой получено из доказательства другой теоремы путём замены понятий на противоположные или иным способом, называется теоремой-следствием.
¶Классификация
По характеру содержания и роли в математике теоремы разделяются на несколько групп:
| Вид | Характеристика |
|---|---|
| Основные (ключевые) | Составляют ядро раздела математики, имеют широкое применение |
| Леммы | Вспомогательные теоремы, используемые для доказательства других теорем |
| Следствия | Непосредственно вытекают из уже доказанных теорем |
| Обобщения | Расширяют область применимости исходной теоремы |
| Эквивалентные теоремы | Ряд утверждений, каждое из которых выводится из любого другого |
Отдельно выделяют принципы (например, принцип Дирихле, принцип наименьшего числа) — утверждения интуитивно очевидные, но требующие строгого доказательства, и гипотезы — утверждения, доказательство которых ещё не получено (например, гипотеза Римана о нулях дзета-функции).
¶История
Понятие доказательства и теоремы сложилось в античной математике. Наиболее ранний известный пример систематического изложения теорем с доказательствами — «Начала» Евклида (около 300 года до н. э.), где из 13 книг изложено свыше 460 теорем. Евклид впервые строго разделил аксиомы (общие предпосылки) и постулаты (предпосылки геометрии), а все остальные утверждения выводил дедуктивно.
В Древней Греции теоремы формулировались преимущественно словесно, в виде задач на построение и доказательство. В Новое время, с развитием символической логики и алгебраической нотации (Ф. Виет, Р. Декарт, И. Ньютон, Г. Лейбниц), теоремы стали записывать в компактной символической форме.
В XIX — начале XX века произошёл пересмотр оснований математики. Д. Гильберт в начале XX века сформулировал программу аксиоматизации всей математики, согласно которой теорема — это формула, доказуемая из заданного набора аксиом по правилам формальной логики. В 1931 году К. Гёдель доказал теорему о неполноте, показав, что в любой достаточно мощной непротиворечивой формальной системе существуют истинные, но недоказуемые в этой системе утверждения — это ограничило амбиции аксиоматической программы.
¶Доказательство
Доказательство — центральное понятие, связывающее теорему с остальной математикой. Строгое математическое доказательство представляет собой конечную последовательность формул, каждая из которых либо аксиома, либо следствие предыдущих по правилам вывода. В отличие от естественнонаучного экспериментального подтверждения, математическое доказательство даёт абсолютную (в рамках принятой системы аксиом) истинность утверждения.
Основные методы доказательства:
- Прямое доказательство — вывод заключения непосредственно из условий.
- Косвенное (apagogic) — предположение противоположного заключения и вывод противоречия.
- Метод математической индукции — доказательство для естественных чисел путём проверки базиса и перехода.
- Метод сведения к противоречию (reductio ad absurdum) — частный случай косвенного доказательства.
- Конструктивное доказательство — не только утверждается существование объекта, но и приводится способ его построения.
¶Значение
Теорема является основной формой организации математического знания. Система «определение — аксиома — теорема — доказательство» обеспечивает строгость и проверяемость математики, отличая её от эмпирических наук. Многие теоремы имеют прикладное значение: теорема Пифагора применяется в геометрии и физике, теорема Гёделя — в логике и теории вычислимости, теорема о гомологической алгебре — в криптографии и теории кодирования.
¶Источники
- Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988.
- Евклид. Начала. — М.: Наука, 1949.
- Гёдель К. О неполоте формальных систем // Философские вопросы современной математики. — М., 1969.
- Арнольд В. И. Математическое воспитание школьников. — М.: МЦНМО, 2004.
- Поппер К. Логика научного исследования. — М.: Прогресс, 1983.