Восьмигранник — многогранник с восемью гранями¶

Восьмигранник — многогранник, ограниченный восемью гранями. К восьмигранникам относится ряд правильных, полуправильных и неправильных многогранников, среди которых наиболее известны куб (правильный восьмигранник) и правильный октаэдр. Термин широко используется в геометрии, кристаллографии и архитектуре.

¶Правильные восьмигранники

В евклидовой геометрии существует два правильных выпуклых многогранника с восемью гранями:

Куб и октаэдр являются двойственными друг другу многогранниками: вершины одного из них соответствуют центрам граней другого. Оба входят в список девяти выпуклых правильных многогранников, описанных ещё в «Началах» Евклида.

¶Полуправильные и другие восьмигранники

К классу восьмигранников относится ряд архимедовых тел. Например, кубооктаэдр (14 граней) и усечённый октаэдр (14 граней) к восьмигранникам не относятся, однако среди многогранников с меньшим числом граней выделяются:

• Тетраэдр — 4 грани;
• Призмы и пирамиды — с числом боковых граней, дающих в сумме 8 (например, пятиугольная пирамида: 5 треугольных боковых граней + 1 пятиугольное основание + ... — зависит от конструкции).

Прямая пятиугольная пирамида имеет 6 граней, а прямая четырёхугольная пирамида — 5. Прямая четырёхугольная призма имеет 6 граней (4 боковых + 2 основания). Восьмигранником, например, является прямая шестиугольная пирамида (6 треугольных боковых граней + шестиугольное основание = 7 граней — не восьмигранник), либо трёхгранная пирамида с расширенными гранями. Наиболее естественными восьмигранниками, отличными от куба и октаэдра, являются:

• Усечённый тетраэдр — 4 шестиугольных + 4 треугольных грани = 8 граней (архимедово тело);
• Пятиугольная призма — 5 прямоугольных боковых граней + 2 пятиугольных основания = 7 граней (не восьмигранник);
• Четырёхугольная антипризма — 8 треугольных граней (правильная антипризма, архимедово тело при равных сторонах).

Таким образом, к архимедовым восьмигранникам относятся усечённый тетраэдр и квадратичная антипризма (при определённых параметрах).

¶Свойства и характеристики

Для произвольного выпуклого восьмигранника выполняется формула Эйлера: $V - E + F = 2$, где $F = 8$ — число граней. Следовательно, $V - E = -6$, то есть число рёбер превышает число вершин на 6. Для простейшего случая (куб) $V = 8$, $E = 12$; для октаэдра $V = 6$, $E = 12$.

Среди неправильных восьмигранников возможны самые разнообразные формы: вогнутые, звёздчатые, с гранями произвольной формы. Число комбинаторных типов выпуклых восьмигранников ограничено, однако число геометрических (не комбинаторных) вариантов не ограничено.

¶Применение

¶Кристаллография

В кристаллографии восьмигранная форма характерна для ряда минералов. Наиболее известен магнитный железняк (магнетит, Fe₃O₄), который кристаллизуется в октаэдрической форме. Октаэдрическая симметрия встречается в системах минералов, принадлежащих к кубической сингонии.

¶Архитектура и строительство

Восьмигранная форма (октаэдр, повёрнутый на 45°) традиционно используется в планах зданий. Примеры:

• Баптистерии в Италии (Флорентийский баптистерий, VIII—XIV века);
• Мавзолей в Гала-Плацидии в Равенне (V век);
• Многочисленные минареты и мавзолеи исламской архитектуры;
• Восьмигранные башни и донжоны средневековых замков.

¶Кристаллы и минералогия

Октаэдрические кристаллы характерны для пирита, алмаза (в кубической системе), флюорита. Алмазные кристаллы часто имеют октаэдрическую форму, что используется в ювелирной обработке.

¶Математика и педагогика

Восьмигранники (куб и октаэдр) входят в стандартный набор стереометрических тел, изучаемых в школьном курсе геометрии. Построение развёрток восьмигранников — типичная задача пространственной геометрии.

¶Интересные факты

• Куб и октаэдр являются двойственными телами: если поместить вершины октаэдра в центры граней куба и наоборот, получатся вписанные друг в друга тела.
• Число развёрток куба равно 11, октаэдра — 11.
• Восьмигранная форма плана характерна для ряда культовых сооружений Византии и раннего Средневековья.

¶Источники

• Евклид. Начала, книга XIII.
• М. В. Венцель. Многогранники.
• И. М. Яглом. Выпуклые фигуры.
• Физическая энциклопедия, статья «Кристаллография».