Задание 11 ЕГЭ по математике: геометрия¶
Задание 11 ЕГЭ по математике — это задача из второй (развёрнутой) части профильного экзамена по математике, посвящённая планиметрии. В действующем формате ЕГЭ (профильный уровень) задание 11 традиционно проверяет умение применять свойства геометрических фигур, теоремы о подобии, площади, длине окружности и элементы векторной геометрии. Решение обычно требует нескольких логических шагов и оформления развёрнутого ответа.
¶Структура задания
Задание 11 относится к категории заданий с развёрнутым ответом (без предложенных вариантов). Максимальный первичный балл за него — 2 балла. Внутри задания, как правило, объединены два подпункта (11.1 и 11.2), связанные общей геометрической ситуацией: сначала требуется найти одну величину (например, площадь или длину), затем — другую, часто производную от первой.
Типичные объекты задачи:
- треугольники (в том числе прямоугольные и подобные);
- четырёхугольники, вписанные и описанные окружности;
- трапеции, параллелограммы, ромбы;
- окружности и касательные к ним;
- правильные многоугольники.
¶Основные разделы планиметрии, проверяемые в задании
Для решения задания 11 необходимы знания базовых тем школьной геометрии:
- Свойства треугольников: сумма углов, неравенство треугольника, медиана, биссектриса, высота, средняя линия, теорема о проекции.
- Подобие треугольников: признаки подобия (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам), свойство отношения площадей подобных фигур.
- Площади фигур: формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и сектора.
- Окружность: центральные и вписанные углы, свойство касательной, теорема Пифагора в связке с радиусом и касательной, длина дуги.
- Теорема Пифагора и её обобщения.
- Векторные методы: скалярное произведение векторов, формулы для нахождения длин и углов.
- Тригонометрия в треугольнике: теоремы синусов и косинусов, площадь через две стороны и синус угла между ними.
¶Типичные приёмы решения
¶Метод подобия
Наиболее частый инструмент. Если в задаче присутствуют параллельные прямые или общие углы, стоит искать подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон — это свойство позволяет быстро переходить от линейных величин к площадям и обратно.
¶Метод разбиения фигуры
Сложный четырёхугольник часто удачно разбивается на два треугольника диагональю, после чего площадь каждой части считается отдельно. Выбор диагонали обычно диктуется наличием известных углов или сторон.
¶Векторный метод
Если координаты или направления сторон заданы удобно, задачу можно решить, выразив площадь через скалярное произведение: площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна |[a, b]| — модулю векторного произведения. Для треугольника берётся половина этой величины.
¶Координатный метод
При наличии в условии прямых углов или симметрии фигуру удобно разместить в системе координат. Тогда площади и длины вычисляются по формулам аналитической геометрии. Этот метод особенно эффективен для задач с квадратом или прямоугольником.
¶Правильные многоугольники
Для правильных n-угольников со стороной a площадь выражается формулой S = (n·a²)/(4·tg(π/n)). Радиус вписанной и описанной окружностей связан со стороной через косинус и синус угла π/n соответственно.
¶Порядок работы над заданием
- Внимательно прочитать условие и отметить все известные величины: стороны, углы, радиусы, отношение площадей.
- Нарисовать аккуратную схему (в тетради для чертежей), отметить все данные.
- Определить, к какому типу относится задача: подобие, площади, окружности, векторы.
- Записать формулы, которые могут потребоваться, до начала преобразований.
- Решить подпункт 11.1, затем использовать его результат в 11.2.
- Проверить ответ: оценить его реалистичность (например, площадь не может быть отрицательной, длина стороны должна быть положительной).
¶Частые ошибки
- Неверное применение признаков подобия (перепутан порядок вершин).
- Забытое умножение на 1/2 при вычислении площади треугольника.
- Ошибка в единицах измерения при переводе между сантиметрами и метрами.
- Неправильное определение вписанного угла (не учтено, что он опирается на дугу, лежащую «напротив»).
- Попытка решить задачу чисто вычислительным путём без геометрических преобразований, что приводит к громоздким и ошибочным вычислениям.
¶Подготовка к заданию
Регулярная практика задач из открытого банка заданий ФИПИ — основной способ подготовки. Полезно решать задания прошлых лет, обращая внимание на повторяющиеся схемы: «вписанная окружность и касательная», «подобие с отношением 2:1», «правильный шестиугольник». Многие задачи задания 11 сводятся к ограниченному набору типовых конфигураций, знание которых позволяет быстро находить решение на экзамене.
Источники:
- Открытый банк заданий ФИПИ (ЕГЭ по математике, профильный уровень)
- Спецификация контрольных измерительных материалов ЕГЭ (профильная математика), ФИПИ
- Демоверсия ЕГЭ по математике (профильный уровень), ФИПИ
- Перечень учебной литературы для подготовки к ЕГЭ (математика), Минпросвещения России