Закон больших чисел Бернулли¶

Теорема Бернулли (также закон больших чисел в форме Бернулли) — одна из первых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающая, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха относительная частота успеха сходится по вероятности к теоретической вероятности события. Теорема опубликована Якобом Бернулли в труде «Ars conjectandi» («Искусство предположений»), изданном в 1713 году, уже после смерти автора.

¶Формулировка

Пусть проводится \(n\) независимых испытаний по схеме Бернулли: в каждом испытании некоторое событие \(A\) наступает с одной и той же вероятностью \(p\) и не наступает с вероятностью \(q = 1 - p\). Пусть \(m\) — число наступлений события \(A\), а \(m/n\) — относительная частота. Тогда для любого сколь угодно малого положительного числа \(\varepsilon\)

\[ P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \varepsilon\right) \to 1 \quad \text{при } n \to \infty. \]

Иными словами, вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности превысит заданную величину, стремится к нулю. Это и означает сходимость по вероятности.

¶Исторический контекст

Якоб Бернулли (1655–1705) работал над теоремой около двадцати лет. В письмах он называл её «золотой теоремой» и подчёркивал, что придаёт ей больше значения, чем иным своим результатам. Доказательство, приведённое Бернулли, опиралось на неравенство, позже названное его именем, и на комбинаторные оценки биномиальных коэффициентов. Труд «Ars conjectandi» был подготовлен к печати племянником учёного, Николаем Бернулли, и вышел в Базеле в 1713 году.

Позднее теорема вошла в общую теорию предельных теорем. Симеон Дени Пуассон распространил результат на случай переменных вероятностей, а Пафнутий Чебышёв и его школа дали строгие доказательства для более широких условий. В российской науке закон больших чисел стал одной из центральных тем работ Чебышёва, Маркова и Ляпунова.

¶Доказательство и неравенство Бернулли

Классическое доказательство опирается на формулу Бернулли для вероятности \(k\) успехов в \(n\) испытаниях:

\[ P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}. \]

Суммируя вероятности всех отклонений, превышающих \(n\varepsilon\), получают оценку, которая при \(n \to \infty\) стремится к нулю. Более простой современный путь использует неравенство Чебышёва: дисперсия числа успехов равна \(npq\), поэтому

\[ P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \ge \varepsilon\right) \le \frac{pq}{n\varepsilon^2} \to 0. \]

Эта оценка даёт не только факт сходимости, но и скорость убывания вероятности — порядка \(1/n\).

¶Связь с законом больших чисел

Теорема Бернулли — частный случай закона больших чисел. В формулировке Чебышёва закон охватывает независимые случайные величины с ограниченными дисперсиями, а в усиленной форме (Борель, Колмогоров) речь идёт о сходимости почти наверное. Теорема Бернулли исторически стала первой строгой демонстрацией того, что случайность на большом числе испытаний подчиняется устойчивым закономерностям.

¶Значение и применение

Теорема обосновывает статистическое определение вероятности: частоту события при большом числе опытов можно принимать в качестве приближения вероятности. Отсюда вытекают практические следствия:

• Выборочные исследования. Оценка доли признака в генеральной совокупности по выборке опирается на сходимость частоты.
• Страхование и демография. Расчёт тарифов использует устойчивость частот массовых событий.
• Контроль качества. Доля брака в партии оценивается по выборке.
• Физика и социология. Усреднение результатов многократных измерений и опросов.

Теорема не утверждает, что частота обязательно приблизится к вероятности в конкретной серии опытов; она говорит лишь о вероятности больших отклонений. Это различие иногда называют «заблуждением игрока» — ошибочным ожиданием, что отклонения должны компенсироваться.

¶Критика и уточнения

Теорема требует независимости испытаний и постоянства вероятности. При зависимых событиях или меняющихся условиях вывод не выполняется без дополнительных предположений. Кроме того, сходимость по вероятности слабее сходимости почти наверное: усиленный закон больших чисел, доказанный Эмилем Борелем для схемы Бернулли, гарантирует сходимость частоты с вероятностью единица.

¶Пример

Пусть вероятность успеха \(p = 0{,}5\). При \(n = 10\,000\) и \(\varepsilon = 0{,}01\) неравенство Чебышёва даёт оценку сверху \(0{,}25/(10\,000 \cdot 0{,}0001) = 0{,}25\). Точные вычисления дают существенно меньшую вероятность, однако уже сама оценка показывает, что с ростом \(n\) отклонение частоты от \(0{,}5\) становится маловероятным.

Источники: Я. Бернулли, «Ars conjectandi»; А. Н. Колмогоров, «Основные понятия теории вероятностей»; Б. В. Гнеденко, «Курс теории вероятностей»; энциклопедические статьи по теории вероятностей.