Чётные числа¶

Чётные числа — это целые числа, делящиеся на два без остатка, то есть кратные двойке. К ним относятся числа вида 2n, где n — любое целое число: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …. Чётность — свойство целого числа, определяемое остатком от деления на два: если остаток равен нулю, число чётное, если единица — нечётное. Понятие чётности распространяется и на отрицательные числа, и на ноль, который считается чётным.

¶Определение и обозначение

Формально чётным называется целое число, представимое в виде 2k, где k — целое число. Нечётное число имеет вид 2k + 1. Любое целое число либо чётное, либо нечётное — других вариантов нет, что следует из теоремы о делении с остатком: при делении любого целого числа на 2 остаток равен либо 0, либо 1.

Для проверки чётности достаточно посмотреть на последнюю цифру числа в десятичной записи: чётными являются числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8. Это правило работает потому, что любое число вида 10k + a делимо на 2 тогда и только тогда, когда делимо на 2 его последнее слагаемое a.

¶Основные свойства

Чётные числа обладают рядом свойств, важных в арифметике и теории чисел:

• Сумма и разность двух чётных чисел — чётное число.
• Произведение двух чётных чисел — чётное число.
• Произведение чётного числа на любое целое — чётное число.
• Любая степень чётного числа (кроме нулевой) — чётное число.
• Сумма любого количества чётных чисел — чётное число.

Для нечётных чисел свойства иные: сумма двух нечётных чисел чётна, произведение двух нечётных чисел нечётно, а любая степень нечётного числа нечётна. Следствие этих правил: чётное число не может быть суммой двух нечётных чисел, а нечётное — суммой чётного и нечётного.

¶Чётность и ноль

Ноль — единственное число, которое одновременно является и чётным, и кратным любому целому числу. Он делим на 2 без остатка (0 = 2 × 0), поэтому по определению чётное. При этом ноль не является ни чётным простым, ни составным числом — он просто кратен двойке.

¶Чётность в разных системах счисления

Понятие чётности не зависит от системы счисления: число чётно или нечётно независимо от того, записано ли оно в двоичной, десятичной или любой иной системе. Однако в разных системах проверять чётность удобно по-разному. В двоичной системе чётными являются числа, оканчивающиеся на 0, а нечётными — на 1. В шестнадцатеричной системе чётными считаются числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, A, C или E.

¶Роль в математике

¶Теория чисел

Чётность — один из первых примеров модульной арифметики: она соответствует вычислению остатка от деления на 2, то есть арифметике по модулю 2. Понятие чётности лежит в основе многих теорем теории чисел, включая критерии делимости, свойства простых чисел и задачи о разложении чисел.

¶Комбинаторика и теория графов

В комбинаторике чётность играет важную роль: например, число перестановок n элементов чётно тогда и только тогда, когда число инверсий в перестановке чётно. В теории графов чётность степени вершины определяет существование эйлерова пути или цикла: граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда все его вершины имеют чётную степень.

¶Алгебра

В алгебре чётность обобщается на понятие характеристики кольца: кольцо Z/2Z, факторкольцо целых чисел по модулю 2, содержит ровно два элемента — классы чётных и нечётных чисел. Это кольцо играет важную роль в современной алгебре и криптографии.

¶Историческая справка

Понятие чётности известно с античности. Древнегреческие математики, включая Пифагора и его последователей, изучали свойства чётных и нечётных чисел, связывая их с гармонией и пропорциями. В средние века арабские математики, такие как аль-Хорезми и аль-Караджи, разработали систематическую теорию чётности, включая правила сложения и умножения чётных и нечётных чисел. В современной математике понятие чётности является фундаментальным и используется во многих разделах — от элементарной арифметики до алгебраической топологии.

¶Интересные факты

• Существует бесконечно много чётных простых чисел? Нет — единственным чётным простым числом является 2. Все остальные простые числа нечётны.
• Сумма первых n чётных чисел равна n²: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1). Это можно проверить на примерах: 2 = 1², 2 + 4 = 6 ≠ 2² — вернее, сумма первых двух чётных чисел равна 6, что не является квадратом; правильная формула — сумма первых n чётных чисел равна n(n + 1).
• Каждое чётное число можно представить в виде суммы двух простых чисел (гипотеза Гольдбаха, проверенная для чисел до очень больших величин, но не доказанная полностью).

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Винберг Э. А. Курс алгебры.
• Новиков П. С. Элементы математической логики.
• Курош А. Г. Курс общей алгебры.
• Энциклопедический словарь: Математика.