Действительное число¶

Действительное число — число, которое описывает положение точки на числовой прямой. Множество действительных чисел обозначается символами $\mathbb{R}$ и включает все рациональные числа (целые, дробные, включая отрицательные) и все иррациональные числа — те, которые нельзя представить в виде несократимой дроби $m/n$, где $m$ и $n$ — целые числа.

¶Состав множества действительных чисел

Множество $\mathbb{R}$ состоит из нескольких пересекающихся подмножеств:

• Натуральные числа ($\mathbb{N}$): 1, 2, 3, … — возникли для счёта предметов.
• Целые числа ($\mathbb{Z}$): …, −2, −1, 0, 1, 2, … — добавляют к натуральным отрицательные числа и ноль.
• Рациональные числа ($\mathbb{Q}$): числа вида $m/n$, где $m, n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$. К ним относятся конечные и периодические дроби: $1/2$, $-3/4$, $0{,}333… = 1/3$.
• Иррациональные числа: не могут быть записаны дробью. Примеры: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, число $\pi \approx 3{,}14159…$, число $e \approx 2{,}71828…$.
• Алгебраические числа: корни многочленов с целыми коэффициентами (например, $\sqrt{2}$ — корень $x^2 - 2 = 0$).
• Трансцендентные числа: не являются корнями таких многочленов. К ним относятся $\pi$ и $e$.

Все рациональные числа алгебраические, но не все алгебраические — рациональные. Трансцендентные числа составляют «большинство» действительных чисел в смысле теории множеств.

¶История

Потребность в действительных числах возникла ещё в Древней Греции. Пифагорейцы (VI век до н. э.) считали, что любое отношение отрезков можно выразить отношением целых чисел. Открытие того, что диагональ квадрата со стороной 1 несоизмерима с его стороной (её длина равна $\sqrt{2}$), стало первым известным примером иррационального числа и вызвало кризис в пифагорейской математике.

В Древнем Риме и средневековой Европе иррациональные числа считались «безымянными» и не признавались полноценными числами. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) исследовал несоизмеримые отрезки геометрическими методами, не оперируя числами напрямую.

В XVI–XVII веках с развитием алгебры иррациональные числа постепенно вошли в практику. Рене Декарт в «Геометрии» (1637) ввёл понятие вещественной оси и предложил обозначать иррациональные корни через корневой символ.

Строгое обоснование существования действительных чисел появилось лишь в XIX веке. В 1872 году независимо друг от друга Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс предложили аксиоматическое построение $\mathbb{R}$: Дедекинд — через разбиения (сечения) рациональных чисел, Вейерштрасс — через возрастающие ограниченные последовательности рациональных чисел. Эти конструкции доказали полноту множества действительных чисел.

¶Свойства

Действительные числа образуют поле с операциями сложения и умножения. Основные свойства:

• Полнота (непрерывность): на числовой прямой нет «дырок» — любая ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу (аксиома полноты). Это свойство отличает $\mathbb{R}$ от $\mathbb{Q}$.
• Линейный порядок: для любых $a, b$ истинно ровно одно из: $a < b$, $a = b$, $a > b$.
• Плотность: между любыми двумя различными действительными числами существует третье.
• Счётность рациональных: множество $\mathbb{Q}$ счётно, а $\mathbb{R}$ — несчётно (что доказал Кантор в 1874 году с помощью диагонального аргумента). Таким образом, иррациональных чисел «больше», чем рациональных.

¶Десятичное представление

Каждое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби (возможно, бесконечной): $a = a_0.a_1a_2a_3…$, где $a_0$ — целая часть, $a_i$ — цифры после запятой. Рациональные числа имеют конечное или периодическое представление, иррациональные — бесконечное непериодическое. Строгое определение действительного числа через десятичные разложения было предложено Вейерштрассом.

¶Обобщения

Из понятия действительного числа выросли комплексные числа $\mathbb{C} = \{a + bi\}$, где $i^2 = -1$. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, в котором любой многочлен имеет корень. Действительные числа — подполе комплексных, соответствующее мнимой части, равной нулю.

Другие обобщения: кватернионы (некоммутативное умножение), p-адические числа (другая топология), гиперреальные числа (в нестандартном анализе), surreal numbers Джона Конвея.

¶Применение

Действительные числа используются повсеместно: в физике для измерения непрерывных величин (длина, время, масса), в анализе и дифференциальных уравнениях, в теории вероятностей, в экономике и инженерии. Полнота $\mathbb{R}$ — основа математического анализа: именно она позволяет строго определить предел последовательности, непрерывность функции и интеграл.

Источники:

• Курánt Р., Роббинс Г. Что такое математика
• Бурбаки Н. Основания математики
• Зорич В. А. Математический анализ
• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения