Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины — это числовая характеристика распределения случайной величины, показывающая меру разброса (рассеивания) её значений относительно математического ожидания (среднего значения). Дисперсия является одной из центральных мер вариации в теории вероятностей и математической статистике, широко применяется в анализе данных, физике, экономике, инженерии и других областях. Чем больше дисперсия, тем сильнее значения случайной величины отклоняются от среднего; чем меньше — тем они более сконцентрированы вокруг среднего.

Определение

Дисперсия случайной величины \(X\) обозначается как \(D[X]\) или \(\text{Var}(X)\) (от англ. variance). Для дискретной случайной величины, принимающей значения \(x_1, x_2, \dots, x_n\) с вероятностями \(p_1, p_2, \dots, p_n\), дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D[X] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mathbb{E}[X])^2 \cdot p_i \]

где \(\mathbb{E}[X]\) — математическое ожидание \(X\).

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения \(f(x)\) дисперсия определяется как:

\[ D[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mathbb{E}[X])^2 \cdot f(x) \, dx \]

В обоих случаях дисперсия представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её среднего значения:

\[ D[X] = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}[X])^2\right] \]

Также используется эквивалентная формула, удобная для вычислений:

\[ D[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]

где \(\mathbb{E}[X^2]\) — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Свойства дисперсии

Дисперсия обладает рядом фундаментальных свойств, которые делают её удобной для анализа:

• Неотрицательность: \(D[X] \geq 0\) для любой случайной величины. Дисперсия равна нулю только в том случае, если случайная величина принимает единственное значение с вероятностью 1 (то есть является константой).
• Линейность при преобразовании: для любых констант \(a\) и \(b\) выполняется:

\[ D[aX + b] = a^2 \cdot D[X] \] Добавление константы \(b\) не меняет дисперсию, так как сдвиг не влияет на разброс. Умножение на \(a\) изменяет дисперсию в \(a^2\) раз.

• Дисперсия суммы независимых величин: если \(X\) и \(Y\) — независимые случайные величины, то:

\[ D[X + Y] = D[X] + D[Y] \] Для зависимых величин добавляется ковариационный член: \(D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2 \cdot \text{Cov}(X, Y)\).

• Связь со стандартным отклонением: корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) и обозначается \(\sigma\):

\[ \sigma[X] = \sqrt{D[X]} \] Стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, что делает его удобным для интерпретации.

Примеры вычисления

Дискретная случайная величина

Рассмотрим случайную величину \(X\) — число очков, выпавших при броске правильного шестигранного кубика. Значения: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) с вероятностью \(1/6\) каждое. Математическое ожидание: \[ \mathbb{E}[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5 \] Тогда дисперсия: \[ D[X] = \frac{1}{6} \left[(1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2\right] = \frac{1}{6} \cdot 17.5 \approx 2.917 \] Стандартное отклонение: \(\sigma \approx 1.708\).

Непрерывная случайная величина

Пусть \(X\) равномерно распределена на отрезке \([0, 1]\). Плотность: \(f(x)=1\) при \(x \in [0,1]\), иначе 0. Математическое ожидание: \[ \mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 1 \, dx = 0.5 \] Второй момент: \[ \mathbb{E}[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 1 \, dx = \frac{1}{3} \] Дисперсия: \[ D[X] = \frac{1}{3} - (0.5)^2 = \frac{1}{3} - 0.25 = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \]

Классификация и виды

В теории вероятностей дисперсия является одним из основных параметров распределения наряду с математическим ожиданием. По величине дисперсии распределения можно классифицировать на:

• Распределения с малой дисперсией — значения сосредоточены вблизи среднего (например, нормальное распределение с малым \(\sigma\)).
• Распределения с большой дисперсией — значения сильно разбросаны (например, распределение Коши, у которого дисперсия бесконечна).

Для некоторых распределений дисперсия может быть бесконечной (например, для распределения Парето с определёнными параметрами) или не существовать (например, для распределения Коши, у которого не существует и математического ожидания).

Применение

Дисперсия широко используется в различных областях:

• Статистика и анализ данных: дисперсия является мерой вариативности выборки. На её основе строятся доверительные интервалы, проверяются статистические гипотезы (например, F-тест для сравнения дисперсий двух выборок).
• Экономика и финансы: дисперсия доходности актива используется как мера риска — чем выше дисперсия, тем выше волатильность и риск. В портфельной теории Марковица дисперсия портфеля является ключевым показателем для оптимизации.
• Физика: в статистической механике дисперсия энергии системы связана с теплоёмкостью. В квантовой механике дисперсия координаты и импульса подчиняется соотношению неопределённостей Гейзенберга.
• Инженерия: дисперсия используется для оценки точности измерений, контроля качества (например, в методах Six Sigma).
• Биология и медицина: дисперсия признаков в популяциях изучается в генетике и эпидемиологии.

Оценка дисперсии по выборке

На практике полное распределение случайной величины часто неизвестно, и дисперсию оценивают по выборочным данным. Для выборки \(x_1, x_2, \dots, x_n\) объёмом \(n\) различают:

• Выборочная дисперсия (смещённая оценка):

\[ S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] где \(\bar{x}\) — выборочное среднее.

• Исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка):

\[ S_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] Использование знаменателя \(n-1\) вместо \(n\) компенсирует смещение, возникающее из-за того, что \(\bar{x}\) само оценивается по выборке. Несмещённая оценка является стандартной в статистике.

Интересные факты

• Дисперсия не является единственной мерой разброса. Существуют также среднее абсолютное отклонение, интерквартильный размах, коэффициент вариации и другие. Однако дисперсия обладает уникальными математическими свойствами (аддитивность для независимых величин, связь с моментами), что делает её предпочтительной в теоретических выкладках.
• В русскоязычной литературе дисперсию часто обозначают \(D[X]\), а в англоязычной — \(\text{Var}(X)\). Термин «дисперсия» ввёл в науку английский статистик Рональд Фишер в 1918 году.
• Дисперсия суммы большого числа независимых одинаково распределённых случайных величин растёт линейно с числом слагаемых, что лежит в основе закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Источники

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: УРСС, 2005.
• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
• Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.
• Fisher R. A. The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1918. — Vol. 52. — P. 399–433.