Многочлен — понятие алгебры¶

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму конечного числа одночленов (членов), каждый из которых является произведением числовой переменной (или нескольких переменных) на числовой коэффициент. Многочлены являются одним из базовых объектов математики, входящим в раздел алгебры, и используются в широком спектре задач — от элементарной арифметики до высшей алгебры и математического анализа.

¶Основные определения

Одночлен — это произведение числа и переменных, например 5x, -3y² или 7ab. Многочлен — это сумма таких одночленов. Наиболее распространённая запись многочлена от одной переменной x имеет вид:

aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

где aₙ, aₙ₋₁, ..., a₀ — числовые коэффициенты, а n — натуральное число или ноль. Коэффициент при старшей степени (aₙ) называется старшим коэффициентом, а степень многочлена равна n. Если старший коэффициент равен единице, многочлен называется приведённым.

Свободный член — это слагаемое, не содержащее переменной (в примере выше это a₀). Если все коэффициенты многочлена равны нулю, такой многочлен называется нулевым многочленом.

¶Классификация

Многочлены классифицируются по нескольким признакам:

• По числу переменных: одночлены, двучлены, трёхчлены и т. д. Многочлен от одной переменной — наиболее изученный случай.
• По степени: многочлены первой степени (линейные), второй (квадратные), третьей (кубические), четвёртой (биквадратные) и т. д.
• По знаку коэффициентов: многочлены с целыми положительными коэффициентами, с рациональными, вещественными или комплексными коэффициентами.

В зависимости от области определения коэффициентов говорят о многочленах над кольцом целых чисел, полем рациональных чисел, полем вещественных или комплексных чисел. В абстрактной алгебре многочлены рассматриваются над произвольным кольцом.

¶Операции над многочленами

Над многочленами определены основные арифметические операции:

1. Сложение и вычитание — выполняются покомпонентно: складываются коэффициенты при одинаковых степенях.
2. Умножение — многочлены перемножаются по правилу распределения, в результате получается многочлен, степень которого равна сумме степеней множителей.
3. Деление с остатком — для любых многочленов A и B (при B ≠ 0) существуют такие многочлены Q и R, что A = B·Q + R, причём степень R меньше степени B. Это утверждение является аналогом деления с остатком для целых чисел и называется алгебраическим делением многочленов.

Множество многочлена от одной переменной с операциями сложения и умножения образует кольцо, обозначаемое K[x], где K — кольцо коэффициентов. Это кольцо является областью целостности, если K — областью целостности.

¶Корни и разложение на множители

Корнем многочлена называется значение переменной, при подстановке которого многочлен обращается в ноль. Теорема Безу устанавливает связь между корнями и множителями: число c является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда (x − c) является делителем этого многочлена.

Основные теоремы о корнях многочленов:

• Теорема о корнях квадратного уравнения: квадратный многочлен ax² + bx + c имеет не более двух корней, формула корней x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
• Основная теорема алгебры: каждый многочлен степени n ≥ 1 над полем комплексных чисел имеет ровно n корней с учётом кратности (включая комплексные).
• Теорема Виета: коэффициенты многочлена связаны с суммой и произведением его корней.

¶Степень многочлена

Степень многочлена — это наибольшая степень переменной, при которой коэффициент не равен нулю. Степень суммы двух многочленов не превышает максимума их степеней, а степень произведения равна сумме степеней множителей. Степень нулевого многочлена по определению равна −∞ (или не определена), что позволяет корректно формулировать свойства степеней.

¶Применение

Многочлены находят применение во многих областях математики и смежных наук:

• Численные методы: интерполяция (полином Лагранжа, полином Ньютона), аппроксимация функций, квадратурные формулы.
• Алгебра: решение уравнений, теория Галуа, факторизация.
• Математический анализ: ряды Тейлора и Маклорена, в которых функция представляется в виде степенного ряда — «многочлена бесконечной степени».
• Криптография: коды на основе полиномов (коды Рида — Соломона, используемые в QR-кодах и системах хранения данных).
• Компьютерная графика: кривые Безье и поверхности, построенные на полиномиальных базисах.

¶История

Проблемы, сводящиеся к составлению и решению многочленов, рассматривались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Систематическое изучение уравнений высших степеней началось в эпоху исламской математики (аль-Хорезми, IX век). Появление обозначений и общих методов работы с многочленами связано с трудами Франсуа Виета (XVI век), Рене Декарта (ввёл современную запись многочлена), Исаака Ньютона (схема разложения в ряд) и Леонарда Эйлера, который сформулировал основную теорему алгебры в её современном виде.

¶Источники

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
• Гельфанд И. М., Лоев Г. Б. Алгебра.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
• Википедия: «Многочлен», «Кольцо многочленов», «Основная теорема алгебры».