Моментные коэффициенты асимметрии

Моментные коэффициенты асимметрии — это статистические показатели, характеризующие степень отклонения распределения вероятностей случайной величины от симметричного вида. Они относятся к группе моментных характеристик формы распределения и вычисляются на основе центральных моментов третьего порядка. Моментные коэффициенты асимметрии позволяют оценить, насколько «скошена» кривая распределения влево или вправо относительно её центра (математического ожидания), и используются в различных областях, включая эконометрику, биологию, технические науки и обработку сигналов.

Определение и математическая формулировка

В основе моментных коэффициентов асимметрии лежит центральный момент третьего порядка $\mu_3$, который для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu$ и функцией распределения $F(x)$ определяется как:

$$\mu_3 = \mathbb{E}[(X - \mu)^3] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^3 dF(x)$$

Для выборочных данных выборочный центральный момент третьего порядка вычисляется по формуле:

$$m_3 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3$$

где $n$ — объём выборки, $x_i$ — наблюдаемые значения, $\bar{x}$ — выборочное среднее.

Однако сам по себе $\mu_3$ зависит от масштаба измерений, поэтому для получения безразмерной характеристики его нормируют. Наиболее распространённый коэффициент асимметрии (также называемый стандартизированным моментом асимметрии) определяется как:

$$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

где $\sigma$ — стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии). В англоязычной литературе этот коэффициент часто обозначается как $\text{Skewness}$.

Для выборочных данных используется выборочный коэффициент асимметрии:

$$g_1 = \frac{m_3}{s^3}$$

где $s$ — выборочное стандартное отклонение (с поправкой на смещение или без неё, в зависимости от метода оценки).

Интерпретация значений

Значение моментного коэффициента асимметрии $\gamma_1$ может быть положительным, отрицательным или равным нулю, что указывает на различные типы асимметрии:

• $\gamma_1 = 0$: Распределение симметрично относительно математического ожидания. Примеры: нормальное распределение, распределение Стьюдента с чётным числом степеней свободы, равномерное распределение.
• $\gamma_1 > 0$: Положительная (правосторонняя) асимметрия. «Хвост» распределения вытянут вправо, а основная масса значений сосредоточена слева от центра. Медиана в таком случае меньше среднего арифметического. Примеры: распределение Парето, логнормальное распределение, распределение Фишера.
• $\gamma_1 < 0$: Отрицательная (левосторонняя) асимметрия. «Хвост» распределения вытянут влево, основная масса значений сосредоточена справа от центра. Медиана больше среднего арифметического. Примеры: распределение хи-квадрат с малым числом степеней свободы (при определённых параметрах), распределение Вейбулла с формой менее 3,6.

Абсолютная величина $\gamma_1$ показывает степень асимметрии. Принято считать, что при $|\gamma_1| < 0,5$ асимметрия слабая, при $0,5 \le |\gamma_1| < 1$ — умеренная, при $|\gamma_1| \ge 1$ — сильная. Однако эти границы условны и зависят от объёма выборки и контекста исследования.

Разновидности моментных коэффициентов асимметрии

Помимо классического коэффициента $\gamma_1$, существуют другие моментные показатели асимметрии, основанные на моментах более высоких порядков или модифицированные для конкретных целей:

Коэффициент асимметрии на основе моментов четвёртого порядка (эксцесс-асимметрия)

Иногда рассматривают комбинированные показатели, включающие моменты четвёртого порядка, но они не являются самостоятельными коэффициентами асимметрии в строгом смысле. Однако существуют меры, связывающие асимметрию и эксцесс, например, коэффициент $\beta_1 = \gamma_1^2$, который используется в некоторых тестах на нормальность.

Выборочные поправки для малых выборок

Для несмещённой оценки коэффициента асимметрии по выборке малого объёма применяют корректирующие множители. Например, в статистическом пакете R используется формула:

$$G_1 = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3$$

где $s$ — выборочное стандартное отклонение с делителем $n-1$. Эта оценка является несмещённой для нормального распределения, но для других распределений её свойства могут отличаться.

Моментные коэффициенты для многомерных распределений

Для многомерных случайных величин асимметрия обобщается через тензоры третьего порядка, называемые многомерными коэффициентами асимметрии. Наиболее известен показатель, предложенный Мардией (Mardia's skewness), который вычисляется как:

$$\beta_{1,p} = \mathbb{E}\left[ (X - \mu)^T \Sigma^{-1} (Y - \mu) \right]^3$$

где $X$ и $Y$ — независимые копии случайного вектора, $\Sigma$ — ковариационная матрица. Этот показатель используется для проверки многомерной нормальности.

Свойства и ограничения

Моментные коэффициенты асимметрии обладают рядом важных свойств:

• Инвариантность к линейным преобразованиям: При замене $Y = aX + b$ (где $a > 0$) коэффициент асимметрии не меняется: $\gamma_1(Y) = \gamma_1(X)$. При $a < 0$ знак меняется на противоположный.
• Существование: Для распределений с тяжёлыми хвостами (например, распределение Коши) третий момент может не существовать, и коэффициент асимметрии не определён.
• Чувствительность к выбросам: Поскольку $\mu_3$ возводит отклонения в куб, даже одно экстремальное значение может сильно исказить оценку асимметрии. Для робастных оценок используют другие меры, например, медианный коэффициент асимметрии (по Пирсону).

Ограничением моментного подхода является то, что он не различает некоторые типы асимметрии. Например, распределение с симметричными «хвостами» разной толщины может иметь нулевой третий момент, но при этом не быть симметричным в строгом смысле. Для таких случаев применяют более сложные меры, например, основанные на квантилях.

Применение в статистическом анализе

Моментные коэффициенты асимметрии широко используются в следующих задачах:

• Проверка нормальности распределения: Совместно с эксцессом коэффициент асимметрии входит в тесты Харке—Бера, Д'Агостино и другие. Значимое отклонение $\gamma_1$ от нуля указывает на ненормальность.
• Описательная статистика: При анализе одномерных данных коэффициент асимметрии включается в сводку характеристик распределения (среднее, медиана, стандартное отклонение, асимметрия, эксцесс).
• Эконометрика: В моделях регрессии асимметрия остатков может свидетельствовать о гетероскедастичности или нелинейности. В финансовой экономике асимметрия доходности активов используется для оценки риска (например, в модели CAPM с учётом асимметрии).
• Обработка сигналов и изображений: Коэффициент асимметрии применяется для анализа гистограмм яркости, текстурных признаков и в задачах обнаружения аномалий.
• Биология и медицина: При анализе распределений биомаркеров, размеров клеток, времени реакции и других величин асимметрия может указывать на патологические процессы.

Связь с другими характеристиками распределения

Моментный коэффициент асимметрии тесно связан с другими параметрами формы:

• Эксцесс ($\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3$) — характеризует «остроту» пика распределения. Совместное рассмотрение асимметрии и эксцесса позволяет более полно описать форму распределения, отличную от нормальной.
• Медианный коэффициент асимметрии Пирсона: $\text{Skew}_P = 3(\mu - \text{Me}) / \sigma$, где $\text{Me}$ — медиана. Для одномодальных распределений этот показатель часто близок к $\gamma_1$, но менее чувствителен к выбросам.
• Квантильные меры асимметрии, например, коэффициент Боули: $\text{Skew}_B = (Q_3 + Q_1 - 2Q_2) / (Q_3 - Q_1)$, где $Q_1, Q_2, Q_3$ — квартили. Эти меры более робастны, но не являются моментными.

Историческая справка

Понятие асимметрии распределения впервые было формализовано в конце XIX века. Карл Пирсон в 1895 году предложил использовать моментные характеристики для описания формы распределений, введя коэффициент $\beta_1 = \mu_3^2 / \mu_2^3$ (где $\mu_2$ — дисперсия). Современный вид $\gamma_1$ приобрёл в работах Рональда Фишера (1920-е годы), который разработал теорию выборочных моментов и их распределений. В 1930-е годы Джордж Удни Юл и Морис Кендалл систематизировали моментные методы в статистике. Впоследствии, с развитием вычислительной техники, моментные коэффициенты асимметрии стали стандартным инструментом пакетов статистического анализа (SPSS, R, Python SciPy, MATLAB).

Источники

• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений». — М.: Наука, 1966.
• Пирсон К. «Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material» // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 1895.
• Фишер Р. А. «Statistical Methods for Research Workers». — Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925.
• Мардия К. В. «Measures of Multivariate Skewness and Kurtosis with Applications» // Biometrika, 1970.
• Харке Д., Бера А. К. «A Test for Normality of Observations and Regression Residuals» // International Statistical Review, 1987.
• Боули А. Л. «Elements of Statistics». — London: P. S. King & Son, 1920.