Произведение в математике¶

Произведение — результат операции умножения, одного из четырёх основных арифметических действий. В широком смысле произведением называют выражение, содержащее умножение, и его итоговое значение. Операция произведения является коммутативной и ассоциативной, что отличает её от вычитания и деления.

¶Основные понятия

При умножении двух чисел a и b результат записывается как a · b, a × b или ab. Числа, участвующие в умножении, называются множителями (или сомножителями), а результат — произведением. Например, произведение чисел 3 и 4 равно 12: 3 · 4 = 12.

Умножение тесно связано со сложением: произведение a · b представляет собой сумму числа a, взятого b раз (при натуральных значениях b). Именно эта связь лежит в основе определения умножения в начальном курсе математики.

¶Свойства произведения

Произведение обладает рядом фундаментальных свойств:

• Коммутативность: a · b = b · a — порядок множителей не влияет на результат.
• Ассоциативность: (a · b) · c = a · (b · c) — при умножении трёх и более чисел порядок группировки не важен.
• Дистрибутивность относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Нейтральный элемент: произведение любого числа на единицу равно этому числу: a · 1 = a.
• Нулевое свойство: произведение любого числа на ноль равно нулю: a · 0 = 0.

Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки и выносить общий множитель за скобки — приёмы, широко применяемые при упрощении алгебраических выражений.

¶Произведение нескольких множителей

Умножение распространяется на произвольное число множителей. Произведение n чисел a₁, a₂, …, aₙ записывается с помощью индексной записи:

a₁ · a₂ · … · aₙ = ∏ⁿᵢ₌₁ aᵢ

Знак ∏ (каппа-подобная заглавная буква «пи») является аналогом знака суммирования Σ и называется символом произведения. Индекс i пробегает значения от 1 до n. Например:

∏⁵ᵢ₌₁ i = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

¶Произведение матриц

В линейной алгебре операция произведения распространяется на матрицы, однако она не является коммутативной: в общем случае AB ≠ BA. Произведение матрицы A размера m × n и матрицы B размера n × k определено и даёт матрицу C размера m × k, элементы которой вычисляются по формуле:

cᵢⱼ = ∑ₖ aᵢₖ · bₖⱼ

То есть каждый элемент результата равен сумме произведений соответствующих элементов строки первой матрицы и столбца второй. Условие согласованности размеров (число столбцов первой матрицы равно числу строк второй) является обязательным.

¶Скалярное и векторное произведение

В векторной алгебре существуют два различных вида произведения векторов:

• Скалярное произведение двух векторов a и b — число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| · cos α. Результат — скаляр (число).
• Векторное произведение — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, модуль которого равен произведению модулей векторов на синус угла между ними. Направление определяется правилом правой руки.

Оба вида произведения активно используются в физике и компьютерной графике.

¶Произведение в теории чисел

В элементной теории чисел важную роль играет произведение Вороного — обобщение произведения двух чисел на произвольное число множителей, связанное с формулой перестановок. Также известно произведение Валлиса, бесконечное произведение, выражающее отношение числа π через чётные и нечётные натуральные числа:

∏ = 2/1 · 2/3 · 4/3 · 4/5 · 6/5 · 6/7 · …

Его значение равно π/2.

¶Бесконечные произведения

Помимо конечных, в математике рассматриваются бесконечные произведения вида ∏ⁿ₌₁ (1 + aₙ). Такое произведение считается сходящимся, если существует конечный ненулевой предел частичных произведений. Бесконечные произведения тесно связаны с бесконечными рядами: сходимость произведения ∏(1 + aₙ) эквивалентна сходимости ряда ∑ aₙ при условии aₙ ≠ −1.

¶Запись и порядок операций

При смешанных действиях умножение имеет приоритет над сложением и вычитанием, но уступает возведению в степень. В выражении 2 + 3 · 4 сначала выполняется умножение: 3 · 4 = 12, затем сложение: 2 + 12 = 14. Для изменения порядка вычислений используются скобки.

В компьютерных языках программирования знак умножения часто заменяется на символ *, поскольку символ × не входит в стандартную раскладку клавиатуры.

Источники:

• Кураторов В. А. Алгебра и начала анализа. — М.: Просвещение.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — М.: Наука.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз.