Шар — геометрическое тело¶
Шар — геометрическое тело, множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает данного числа (радиуса). Шар является основным объектом стереометрии и одним из фундаментальных понятий математики, а также формой, широко распространённой в природе, технике и повседневной жизни.
¶Определение и свойства
Плоская фигура, все точки которой равно удалены от центра, называется окружностью; объёмное тело, все точки которого равно удалены от центра, — шар. Если $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр, то шар — это множество точек $M$, для которых $OM \le R$.
Основные величины, связанные со шаром:
- Радиус $R$ — расстояние от центра до любой точки поверхности.
- Диаметр $D = 2R$ — наибольшая хорда, проходящая через центр.
- Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.
- Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Формулы площади поверхности и объёма выводятся методами интегрального исчисления или элементарно — соотношением с цилиндром, описанным вокруг шара (по теореме Архимеда, объём шара равен двум третям объёма описанного цилиндра, включая основания).
¶Связанные понятия
Поверхность шара — множество точек, равно удалённых от центра; это двумная сфера, лежащая в трёхмерном пространстве. Поверхность шара не имеет границ и краёв, она ограничивает объём шара.
Сфера в общем случае — поверхность, все точки которой равно удалены от центра. В бытовом и научном языке слово «сфера» часто используется как синоним слова «шар», однако строго говоря, сфера — это поверхность, а шар — тело, включая внутренность.
Сечения шара. Любой плоский срез шара — окружность. Если плоскость проходит через центр, получается большой круг (величина круга, равная по площади экватору шара); если не проходит — малый круг.
Окружность и круг — двумные аналоги шара: окружность — линия, все точки которой равно удалены от центра на плоскости; круг — плоская фигура, ограниченная окружностью.
¶Шар в математике
В школьном курсе геометрии шар изучается наряду с конусом и цилиндром как одно из трёх основных объёмных тел. Классические задачи о шаре включают вычисление объёмов и площадей, нахождение объёмов сечений, построение описанных и вписанных тел.
В аналитической геометрии уравнение шара с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.
В высшей математике понятие шара обобщается на произвольные размерности: в $n$-мерном пространстве шар — это множество точек, расстояние от которых до центра не превышает $R$. Объём $n$-мерного шара выражается через гамма-функцию.
¶Шар в природе
Сферическая форма встречается в природе повсеместно. Крупные небесные тела — планеты, звёзды — под действием собственной гравитации принимают форму шара (точнее, сфероида, так как вращение вокруг оси вызывает уплощение у полюсов). Капли жидкости в невесомости или при малых размерах (роса, ртуть) стремятся принять сферическую форму, поскольку поверхность с минимальной площадью при заданном объёме — сфера (явление, известное как проблема Платона).
Молекулы газов, атомы, элементарные частицы в физических моделях часто описываются как шары. Модель атома Томсона (1904) представляла положительно заряженную «шаровую» массу с встроенными электронами; она была отвергнута после опыта Резерфорда в 1911 году.
¶Шар в технике и спорте
Сферическая форма применяется в технике из-за ряда преимуществ: минимальная площадь поверхности при заданном объёме, равномерное распределение нагрузки, способность выдерживать высокое внутреннее давление.
- Подшипники качения — одни из самых распространённых деталей машин, состоящие из стальных шариков.
- Шаровые краны — запорная арматура, в которой затвором служит шар с отверстием.
- Сферические резервуары для хранения сжиженных газов (например, сжиженного природного газа).
- Космические аппараты — герметичные капсулы часто имеют сферическую или близкую к ней форму.
В спорте мячи для футбола, баскетбола, волейбола, тенниса, гольфа имеют форму шара. В астрономии и навигации применяются небесные сферы — вспомогательные модели, на которые проецируют положения светил.
¶Шар в культуре
Сфера традиционно символизирует совершенство, целостность и гармонию. В античной философии шар считался идеальной формой: Платон и Аристотель связывали с ним представления о совершенном космосе. В христианской символике шар — знак божественного всеведения и вечности. Шар используется как элемент геральдики (например, держава — один из регалий монаршей власти), в архитектуре (главы, купола сферической формы) и в декоративно-прикладном искусстве.
¶Интересные факты
- Архимед (III век до н. э.) доказал, что объём шара равен двум третям объёма описанного цилиндра и завещал изобразить это соотношение на своей надгробной плите.
- Теорема изопериметрического неравенства утверждает: среди всех тел с одинаковым объёмом шар имеет наименьшую площадь поверхности, и наоборот.
- В компьютерной графике сфера является одним из примитивов, наряду с кубом и цилиндром.
¶Источники
- Атанасян Л. С. Геометрия. 7–11 классы.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
- Родионов А. И. Математика в примерах и задачах.
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона.