Теорема — основное понятие математики¶
Теорема — утверждение, истинность которого доказана строгими логическими рассуждениями из ранее принятых аксиом, определений и уже установленных теорем. В математике и математической логике теорема является центральным объектом дедуктивного метода: в отличие от гипотезы или эмпирического закона, она имеет статус абсолютной истинности внутри принятой аксиоматической системы. Слово происходит от греч. θεώρημα — «то, что рассматривается, наблюдаемое».
¶Структура теоремы
Классическая математическая теорема состоит из нескольких элементов:
- Гипотеза (посылка) — условия, при которых утверждение считается истинным («если…»).
- Заключение (тезис) — само утверждение, которое требуется доказать («…то»).
- Доказательство — последовательность логических преобразований, связывающих гипотезу с заключением.
Формально теорема записывается в виде импликации H → T, где H — гипотеза, T — заключение. Если гипотеза отсутствует, теорема называется безусловной; пример — «простых чисел бесконечно много».
¶Классификация
По характеру и назначению теоремы разделяются на несколько типов:
| Тип | Описание | Пример |
|---|---|---|
| Основная (главная) | Центральное утверждение раздела, к которому ведут остальные | Теорема Пифагора |
| Лемма | Вспомогательная теорема, служащая шагом к доказательству основной | Лемма Гёделя о полноте |
| Коралларий | Непосредственное следствие теоремы | Следствие из теоремы о единственности разложения на простые множители |
| Обратная теорема | Утверждение, получающееся обменом гипотезы и заключения исходной теоремы | Обратная теорема Пифагора |
| Эквивалентность | Одновременное доказательство теоремы и её обратной | Критерий разрешимости линейного отображения |
По содержанию выделяют также Existential теоремы (утверждающие существование объекта с заданными свойствами), конструктивные (показывающие способ построения объекта) и необходимые условия.
¶Требования к доказательству
Доказательство считается строгим, если оно опирается только на:
- Аксиомы (принимаемые без доказательства).
- Определения введённых понятий.
- Ранее доказанные теоремы и леммы.
- Правила логического вывода (правила инференции).
Допускаются методы: прямое доказательство, доказательство от противного, математическая индукция, метод математического противоречия, конструктивное построение. В XX веке к ним добавились компьютерно-проверяемые доказательства, когда верификация формальной последовательности шагов поручается программе (например, системы Coq, Isabelle).
¶Исторический очерк
Понятие доказательства сложилось в Древней Греции в VI—IV вв. до н. э. Первые систематические теоремы сформулированы в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.), где 13 книг построены по принципу «определения — постулаты — теоремы». Среди них — знаменитая первая книга с 48 теоремами, включая теорему Пифагора (кн. I, предл. 47).
В Новое время аксиоматический подход был пересмотрен Декартом, Лейбницем и Ньютоном, а в XIX веке — Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором, заложившими строгие основания анализа. В 1899 году Давид Гильберт опубликовал «Основания геометрии», предложив современный стандарт аксиоматики.
¶Кризис оснований и теоремы Гёделя
В начале XX века работы Рассела и Уайтхеда («Principia Mathematica», 1910—1913) показали возможность сведения математики к логике. Однако в 1931 году Курт Гёдель сформулировал две теоремы неполноты, показавшие, что в любой непротиворечивой формальной системе, достаточно мощной для арифметики, существуют истинные, но недоказуемые в этой системе утверждения. Первая теорема неполноты Гёделя утверждает существование неразрешимых высказываний; вторая — недоказуемость непротиворечивости самой системы внутри неё. Эти результаты ограничили область применимости понятия «теорема» и определили границы формального метода.
¶Значение
Теорема является основной единицей математического знания: именно доказанные теоремы образуют то, что называют «математикой» в отличие от гипотез и численных наблюдений. Формализация понятия теоремы легла в основу математической логики, теории доказательств и теоретико-информационных исследований сложности доказательства.
Источники:
- Евклид. Начала.
- Д. Гильберт. Основания геометрии (1899).
- К. Гёдель. О неполноте формальных систем (1931).
- А. Н. Колмогоров. Математика. — М.: Наука.
- Г. Клейн. Математика. Энциклопедический словарь.
- А. П. Юшкевич. История математики в России до 1917 года.