Виды треугольников по сторонам и углам¶

Треугольник — это плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками (сторонами) и имеющая три угла. Треугольник является простейшим многоугольником: любая фигура с большим числом сторон может быть разбита на треугольники. Треугольники классифицируют по двум основным признакам — соотношению длин сторон и величине углов.

¶Классификация по сторонам

По соотношению длин сторон все треугольники делятся на три вида.

¶Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник (иначе — правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны между собой. Из этого следует, что все три угла также равны и каждый из них составляет 60°. Равносторонний треугольник обладает наибольшей степенью симметрии среди треугольников: у него три оси симметрии (проведённые из каждой вершины к середине противоположной стороны) и центр симметрии, совпадающий с точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров.

¶Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника также равны. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии — прямую, проходящую через вершину (угол между боковыми сторонами) и середину основания. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедреннего, когда равными являются все три стороны.

¶Равносторонний и разносторонний треугольники

Разносторонним (скаленом) называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. У такого треугольника нет осей симметрии. Если треугольник не является ни равносторонним, ни равнобедренным, он считается разносторонним.

¶Классификация по углам

По величине углов треугольники делятся на три вида.

¶Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник — это треугольник, все три угла которого являются острыми, то есть каждый из них меньше 90°. В таком треугольнике все высоты лежат внутри фигуры, а точка пересечения высот (ортоцентр) находится внутри треугольника.

¶Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Ключевое свойство прямоугольных треугольников — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Два прямоугольных треугольника с равными катетами (или катетом и гипотенузой) равны. Прямоугольные треугольники широко применяются в тригонометрии, где соотношения сторон и углов выражаются через синус, косинус и тангенс.

¶Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого больше 90°. В таком треугольнике две высоты лежат вне фигуры, а ортоцентр находится за пределами треугольника.

¶Связь между классификациями

Классификации по сторонам и по углам пересекаются, но не совпадают. Равносторонний треугольник всегда является остроугольным (все его углы равны 60°). Равнобедренный треугольник может быть как остроугольным, так и прямоугольным (например, с углами 45°, 45° и 90°) или тупоугольным. Равносторонний треугольник — единственный вид, который не может быть прямоугольным или тупоугольным.

¶Основные элементы треугольника

Помимо сторон и углов, в треугольнике выделяют ряд важных элементов:

• Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне (или к её продолжению). В треугольнике три высоты, они пересекаются в одной точке — ортоцентре.
• Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центром тяжести (центроидом), и делятся этой точкой в отношении 2:1.
• Биссектриса — отрезок (или луч), делящий угол треугольника пополам. Три внутренние биссектрисы пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.
• Серединный перпендикуляр — перпендикуляр, проведённый к стороне в её середине. Три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности.

¶Неравенство треугольника

Для существования треугольника с данными сторонами необходимо и достаточно выполнения неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Это условие позволяет определить, можно ли из трёх данных отрезков построить треугольник.

¶Применение

Треугольники — фундаментальные объекты геометрии, нашедшие применение в множестве областей. В архитектуре и строительстве треугольные конструкции (фермы, фронтоны) используются благодаря их жёсткости: в отличие от четырёхугольника, треугольник не меняет форму при изменении углов между сторонами. В компьютерной графике сложные поверхности разбиваются на треугольные полигоны (триангуляция). В тригонометрии и навигации треугольники лежат в основе методов определения расстояний и направлений.

¶Историческая справка

Изучение треугольников имеет давнюю историю. В Древней Греции свойства треугольников исследовались Евклидом («Начала», около 300 года до н. э.), где были сформулированы основные теоремы, включая теорему Пифагора. В эпоху исламского Возрождения персидский учёный Насир ад-Дин ат-Туси впервые систематизировал тригонометрию как самостоятельную науку, изучавшую соотношения сторон и углов треугольников. В XVII веке с развитием аналитической геометрии треугольники получили алгебраическое описание.

Источники:

• Евклид. Начала, книги I—VI.
• Пономарёв Л. И. Геометрия для поступающих в вузы.
• Киселёва С. В., Пономарёв Л. И. Геометрия: 7—9 классы.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия: 7—11 классы.