Неевклидовы геометрии

Неевклидовы геометрии — это общее название геометрических систем, которые отличаются от евклидовой геометрии, в первую очередь, иной трактовкой аксиомы о параллельных прямых (V постулата Евклида). В неевклидовых геометриях через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данную, или же ни одной такой прямой. Классическими примерами являются геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) и геометрия Римана (эллиптическая геометрия). Неевклидовы геометрии возникли из попыток доказать V постулат и привели к фундаментальному пересмотру представлений о пространстве, оказав влияние на математику, физику (в частности, на общую теорию относительности) и философию.

История

Предыстория: попытки доказать V постулат

На протяжении более двух тысяч лет, со времён «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.), пятый постулат (аксиома параллельности) вызывал сомнения у математиков. В отличие от остальных аксиом, он казался менее очевидным и больше напоминал теорему. Многие учёные пытались вывести его из других аксиом, но все попытки оказывались безуспешными. Среди тех, кто внёс вклад в эту проблему, были Прокл (V век н. э.), Омар Хайям (XI–XII века), Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век), Джованни Джероламо Саккери (XVIII век), Иоганн Генрих Ламберт (XVIII век) и Адриен Мари Лежандр (XVIII–XIX века). Они получали следствия, которые противоречили интуиции, но не могли прийти к логическому противоречию, что впоследствии было осознано как открытие новых геометрий.

Открытие геометрии Лобачевского и Бойяи

В 1820-х годах независимо друг от труда Николай Иванович Лобачевский (в России) и Янош Бойяи (в Венгрии) пришли к выводу, что V постулат недоказуем, и построили непротиворечивую геометрию, в которой через точку вне прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Лобачевский впервые опубликовал свои результаты в 1829–1830 годах в работе «О началах геометрии» в журнале Казанского университета. Бойяи изложил свою теорию в 1832 году в виде приложения к книге своего отца, Фаркаша Бойяи. Работы Лобачевского и Бойяи не были поняты современниками, в том числе Карлом Фридрихом Гауссом, который, как выяснилось позже, также обладал идеями неевклидовой геометрии, но не решался их публиковать из-за боязни критики.

Геометрия Римана

В 1854 году Бернхард Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (опубликована в 1868 году) предложил более общий подход. Он ввёл понятие многообразия с метрикой, задаваемой дифференциальной квадратичной формой (риманова метрика). Риман показал, что возможны геометрии с постоянной положительной кривизной (эллиптическая геометрия), где через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной прямой (все прямые пересекаются), и с постоянной отрицательной кривизной (гиперболическая геометрия). Работа Римана заложила основы римановой геометрии, которая стала математическим аппаратом для общей теории относительности.

Признание и развитие

В 1868 году Эудженио Бельтрами опубликовал работу, в которой показал, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере — поверхности постоянной отрицательной кривизны. Это дало наглядную модель и доказало непротиворечивость гиперболической геометрии. В конце XIX века Анри Пуанкаре и Феликс Клейн разработали другие модели (модель Пуанкаре в круге и модель Клейна в круге), которые также позволили интерпретировать геометрию Лобачевского в рамках евклидовой плоскости. В 1872 году Клейн в своей «Эрлангенской программе» предложил классифицировать геометрии на основе групп преобразований, что объединило евклидову, гиперболическую и эллиптическую геометрии в рамках единой теории.

Классификация неевклидовых геометрий

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия)

В гиперболической геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную (параллельных в смысле Лобачевского). Сумма углов треугольника меньше 180°, и она уменьшается с ростом площади треугольника. Кривизна пространства постоянна и отрицательна. Площадь треугольника пропорциональна его дефекту (разности между 180° и суммой углов). В гиперболической геометрии существуют асимптотические прямые (параллельные) и сверхпараллельные (расходящиеся) прямые. Моделями гиперболической геометрии являются псевдосфера, модель Пуанкаре в круге и модель Клейна.

Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)

В эллиптической геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, не пересекающей данную (все прямые пересекаются). Сумма углов треугольника больше 180°, и она увеличивается с ростом площади треугольника. Кривизна пространства постоянна и положительна. Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где роль прямых играют большие круги. Однако на сфере любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, что нарушает аксиому о единственности прямой, проходящей через две точки. Для устранения этого отождествляют диаметрально противоположные точки, получая проективную плоскость — модель эллиптической геометрии в чистом виде.

Сферическая геометрия

Сферическая геометрия изучает фигуры на поверхности сферы. Она является одним из частных случаев эллиптической геометрии, но не является полностью неевклидовой в строгом смысле, так как на сфере не выполняются некоторые аксиомы евклидовой геометрии (например, аксиома о единственности прямой). Сферическая геометрия широко применяется в навигации, астрономии и геодезии.

Основные свойства

Сумма углов треугольника

В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°. В гиперболической геометрии она меньше 180°, причём разность (дефект) пропорциональна площади треугольника. В эллиптической геометрии сумма углов треугольника больше 180°, причём избыток пропорционален площади треугольника.

Параллельные прямые

В гиперболической геометрии через точку вне прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Среди них выделяют две асимптотические (параллельные) прямые, которые приближаются к данной прямой в одном направлении, и все остальные — сверхпараллельные (расходящиеся). В эллиптической геометрии параллельных прямых не существует: любые две прямые пересекаются.

Кривизна

Кривизна пространства является фундаментальной характеристикой. В евклидовой геометрии кривизна равна нулю. В гиперболической геометрии кривизна отрицательна, в эллиптической — положительна. Кривизна может быть постоянной (как в классических неевклидовых геометриях) или переменной (в римановой геометрии общего вида).

Применение

Физика и общая теория относительности

Неевклидовы геометрии нашли важнейшее применение в физике. В общей теории относительности Альберта Эйнштейна (1915) гравитация описывается как искривление пространства-времени, которое является четырёхмерным псевдоримановым многообразием. Масса и энергия искривляют пространство-время, и движение тел происходит по геодезическим линиям в этом искривлённом пространстве. Геометрия такого пространства-времени является неевклидовой. Например, вблизи массивных тел (звёзд, чёрных дыр) пространство-время имеет положительную кривизну.

Математика

Неевклидовы геометрии являются важным разделом математики. Они лежат в основе теории римановых многообразий, дифференциальной геометрии, топологии и теории групп Ли. Гиперболическая геометрия используется в теории чисел (в частности, в теории модулярных форм), в геометрической теории групп и в теории динамических систем. Эллиптическая геометрия применяется в проективной геометрии и в теории комплексных многообразий.

Космология

В космологии модели Вселенной могут иметь различную геометрию. В зависимости от средней плотности материи и энергии, Вселенная может быть плоской (евклидовой), открытой (гиперболической) или замкнутой (эллиптической). Современные наблюдения (например, данные спутника WMAP и «Планк») указывают на то, что Вселенная с высокой точностью является плоской, хотя небольшая положительная или отрицательная кривизна не исключается.

Компьютерная графика и визуализация

Неевклидовы геометрии используются в компьютерной графике для создания необычных визуальных эффектов, в том числе в играх (например, в игре HyperRogue) и в виртуальной реальности. Модели гиперболической геометрии позволяют создавать изображения с эффектом «рыбьего глаза» или с бесконечным числом повторяющихся узоров (например, мозаики М. К. Эшера, основанные на модели Пуанкаре).

Интересные факты

• Николай Лобачевский, будучи ректором Казанского университета, впервые опубликовал свою неевклидову геометрию в 1829 году, но его работы не были признаны при жизни. Признание пришло только после его смерти, в значительной степени благодаря работам Бельтрами.
• Янош Бойяи, открывший неевклидову геометрию независимо от Лобачевского, был настолько разочарован отсутствием признания, что прекратил математические исследования.
• Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков, также владел идеями неевклидовой геометрии, но не публиковал их, опасаясь «криков беотийцев» (так он называл невежественных критиков).
• Модель Пуанкаре в круге, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году, позволяет изображать гиперболическую геометрию на евклидовой плоскости, где прямые представлены дугами окружностей, перпендикулярными границе круга. Эта модель широко используется в искусстве (например, в гравюрах М. К. Эшера «Предел круга»).
• Понятие кривизны пространства, введённое Риманом, стало ключевым для общей теории относительности. Эйнштейн использовал математический аппарат римановой геометрии, разработанный Риманом и его последователями (в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита).

Критика и философские аспекты

Открытие неевклидовых геометрий вызвало философский кризис в математике и науке в целом. До XIX века евклидова геометрия считалась единственно возможной и априорной формой созерцания пространства (как утверждал Иммануил Кант). Неевклидовы геометрии показали, что геометрия может быть разной, и вопрос о том, какая из них описывает реальное физическое пространство, стал эмпирическим. Это привело к развитию конвенционализма (Анри Пуанкаре) и к пересмотру оснований математики (формализм Давида Гильберта, интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра). В настоящее время неевклидовы геометрии являются неотъемлемой частью математического образования и научного мировоззрения.

Источники

• Лобачевский Н. И. О началах геометрии (1829–1830).
• Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии (1854, опубл. 1868).
• Бельтрами Э. Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (1868).
• Пуанкаре А. О гипотезах, лежащих в основании геометрии (1891).
• Клейн Ф. Эрлангенская программа (1872).
• Эйнштейн А. Основы общей теории относительности (1916).